世界上最完美的公式 完全看不懂的欧拉公式

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欧拉想必是很多人的噩梦,作为世界十大公式之一的欧拉公式,虽然只有寥寥数语,但它却是是世界上最完美的公式,它几乎拥有能够解开一切谜团的魔力,虽然不是所有人能看懂它,但是它的伟大不需要任何人证明。

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欧拉是历史上最多产的数学家,也是各领域(包含数学的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药等)最多著作的学者。数学史上称十八世纪为“欧拉时代”。他一生谦逊,很少用自己的名字给他发现的东西命名。不过还是命名了一个最重要的一个常数——e。

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欧拉公式的巧妙之处在于,它没有任何多余的内容,将数学中最基本的e、i、π放在了同一个式子中,同时加入了数学也是哲学中最重要的0和1,再以简单的加号相连。高斯曾经说:“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力,他不可能成为数学家。” 虽然不敢肯定它是世界上“最伟大公式",但是可以肯定它是最完美的数学公式之一。


理由如下:


1、自然数的“e”含于其中。 自然对数的底,大到飞船的速度,小至蜗牛的螺线,谁能够离开它?


2、最重要的常数 π 含于其中。 世界上最完美的平面对称图形是圆。“最伟大的公式”能够离开圆周率吗? (还有π和e是两个最重要的无理数!)


3、最重要的运算符号 + 含于其中。 之所以说加号是最重要的符号,是因为其余符号都是由加号派生而来。减号是加法的逆逆运算,乘法是累计的加法……


4、最重要的关系符号 = 含于其中。 从你一开始学算术,最先遇见它,相信你也会同意这句话。


5、最重要的两个元在里面。零元0 ,单位1 ,是构造群,环,域的基本元素。如果你看了有关《近世代数》的书,你就会体会到它的重要性。


6、最重要的虚单位 i 也在其中。 虚单位 i 使数轴上的问题扩展到了平面,而在哈密尔的 4 元数与 凯莱的 8 元数中也离开不了它。 之所以说她美,是因为这个公式的精简。她没有多余的字符,却联系着几乎所有的数学知识。 有了加号,可以得到其余运算符号; 有了0,1,就可以得到其他的数字; 有了 π 就有了圆函数,也就是三角函数; 有了 i 就有了虚数,平面向量与其对应,也就有了哈密尔的 4 元数,现实的空间与其对应; 有了 e 就有了微积分,就有了和工业革命时期相适宜的数学。

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三角形中的欧拉公式: 设r为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则: d^2=r^2-2rr


拓扑学里的欧拉公式: v+f-e=x(p),v是多面体p的顶点个数,f是多面体p的面数,e是多面体p的棱的条数,x(p)是多面体p的欧拉示性数。 如果p可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上),那么x(p)=2,如果p同胚于一个接有h个环柄的球面,那么x(p)=2-2h。 x(p)叫做p的欧拉示性数,是拓扑不变量,就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量,是拓扑学研究的范围。

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在多面体中的运用: 简单多面体的顶点数v、面数f及棱数e间有关系 v+f-e=2 这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。


初等数论里的欧拉公式: 欧拉φ函数:φ(n)是所有小于n的正整数里,和n互素的整数的个数。n是一个正整数。 欧拉证明了下面这个式子: 如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am,其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数,而且两两不等。则有 φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm) 利用容斥原理可以证明它。 此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。

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发布时间:2019-03-27 07:06:30
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